反向求线性方程组

原题: 009_matrix

本题围绕“已知 $x,b$ ，求 $A$ 使 $Ax=b$ ”的反向问题展开，重点在最小范数解与外积结构的理解与推导。

与传统“给定 $A$ 求 $x$ ”不同，本题从已知输入信号 $x$ 与目标响应 $b$ 出发，寻找满足线性约束的矩阵 $A$ ，强调从“求解未知量”到“求解映射”的思维切换。

在 Frobenius 范数最小化约束下，证明解具有外积形式 $A = \frac{b x^{\top}}{\|x\|^{2}}$ ，并理解其在增量学习与拟牛顿法（如 BFGS）中的意义。

最优解天然是秩一矩阵，体现了“最小扰动原则”，也为后续理解低秩近似与矩阵分解提供直观入口。

本题源自机器学习与数值优化中的常见建模：在约束下寻找“变化最小”的线性变换。它将线性代数、优化与算法背景紧密结合，具有很强的应用指向。

通过本专题的学习，可以：1）掌握反向线性方程组的建模方式；2）理解最小范数解的推导思路；3）体会外积结构与秩一矩阵的意义；4）为学习拟牛顿法、增量学习与矩阵优化打下基础。

提交要求：

奖品： 《解析几何与线性代数》（首位答对者将获得特别奖品，所有答对者获得一个月 Liii STEM 会员）

参与方式： 见主页